证明：假设{xn}, n∈N中每一项均为正数, 且
limsup[(x1+x(n+1))/xn]^n=lim{sup(t≥n)[(x1+x(t+1))/xt]^t}
存在(收敛)
引理：存在无穷多个正整数n使得[x1+x(n+1)]/xn≥1+1/n
证明：若[x1+x(n+1)]/xn≥1+1/n对有限个实数n成立
则存在一个正数N使得∀n≥N; [x1+x(n+1)]/xn＜1+1/n……(1)
存在一个正整数n使得xn＜0……(2)
首先确定x(N+m)＜(N+m)/N*xN-(N+m)[H(N+m)-H(N)]x1……(3)
【H(m)表示第m个谐波次数】
(3)可由数学归纳法证出。
由(1), x(n+1)＜(n+1)/n*xn-x1, n≥N。
所以当m=1时(3)成立
另一方面, 如果(3)对一些m成立, 则
x(N+m+1)＜(N+m+1)/(N+m)*x(N+m)-x1
````````＜(N+m+1)/N*xN-(N+m+1)[H(N+m)-H(N)]x1-x1
````````=(N+m+1)/N*xN-(N+m+1){H(N+m+1)-H(N)]x1
故(3)对所有m∈N都成立
由H(N+m)≥∫(0,N+m+1)1/x*dx=ln(N+m+1)
x1＞0, 存在实数A,B,C (A＞0)使得
∀m∈N; x(N+m)＜-Amln(N+m+1)+Bm+C
所以当m充分大时, x(N+m)应为负数, 即(2)成立
但(2)不可能成立, 因为{xn}＞0。
由此矛盾引理得证
由此引理, {xn}存在一个有限子序列{yn}使得
{[y1+y(n+1)]/yn}^n≥(1+1/n)^n
所以∀n≥M;
sup(t≥n){[x1+x(t+1)]/xt}^t≥sup(t≥n){[y1+y(t+1)]/yt}^t≥sup(t≥n)(1+1/t)^t
对于充分大的M, 即有
limsup{[x1+x(n+1)]/xn}^n≥limsup(1+1/n)^n=e
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注：如常规老师所说
可以令 x(k) / k = y(k)
x(n+1)＜(n+1)/n*xn-x1
变成
y(n+1)＜y(n)-x1/(n+1)
y(n+m)＜y(n)-x1[(1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/(n+m)]
利用调和级数的发散性也可以推出矛盾
。
答：方程x^n+x=1变为x^n=1-x,设f(x)=x^n,g(x)=1-x. 0(x)↑，g(x)↓， f(0)=0(1)=1>g(1)=0, 显然f(x),g...详情>>
答：详情>>
问：安徽省教育科学研究院编小学一年级寒假作案业数学,第27页计算棋的答案
答：这叫什么啊，没题目详情>>
答：求证类型 求解类型详情>>
