全部答案

2011-12-04 15:24:03

• 方程x^n+x=1变为x^n=1-x,设f(x)=x^n,g(x)=1-x.
  0(x)↑，g(x)↓，
  f(0)=0(1)=1>g(1)=0,
  显然f(x),g(x)连续，
  ∴方程f(x)=g(x)在（0,1）内有唯一实根xn.
  画示意图知，f(x)(x),
  ∴x>xn,
  ∴数列{xn}递增且有上界1，
  ∴limxn存在，记为a,则0=1-a>0,这与“xn^n=1-xn"矛盾，
  ∴limxn=1.

  全部
  

  l***

  2011-12-04 15:24:03

  92 40 评论

  分享
  提交评论
2011-12-04 11:52:45

• 证明:令f(x)=x^n+x-1,显然f(x)在[0,+∞)上连续且严格递增,且
  f(0)=-10.
  由介值定理得f(x)=0在(0,1)上有实根。
  再由f(x)的单调性可知f(x)=0在(0,+∞)上不可能有2个或更多的实根,从而该方程在(0,+∞)上有唯一根且在区间(0,1)内。
  后半部分可以用定义证明:
  对任意ε>0,令N=lnε/ln(1-ε),当n>N时,
  f(1-ε)=(1-ε)^n+(1-ε)-1
  0,由介值定理得f(x)=0在(1-ε,1)内有实根,由前半部分的结论得
  1-ε
  		                全部
  		            

  

  u***

  2011-12-04 11:52:45

  97 39 评论

  分享
  提交评论