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已知1X1

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已知1X1

已知-1<<X<<1,n为自然数且n>>2,求证:(1-X)~n (1 X)~n<<2~n<<表示小于等于,2~n表示2的n次方

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  • 2005-08-24 12:46:32
    -1≤x≤1,2≤n
    0≤1-x≤2
    (1-x)^(n-1)≤2^(n-1)
    (1-x)^n≤(1-x)*2^(n-1)
    同样
    (1+x)^n≤(1+x)*2^(n-1)
    所以
    (1-x)^n+(1+x)^n≤(1-x)*2^(n-1)+(1+x)*2^(n-1)=2^n
    

    青***

    2005-08-24 12:46:32

其他答案

    2005-08-24 12:32:58
  • (1-x)^n=Cn0-Cn1(x)+Cn2(x^2)-Cn3(x^3)+.....+(-1)^nCnn(x^n)
    (1+x)^n=Cn0+Cn1(x)+Cn2(x^2)+Cn3(x^3)+.....+Cnn(x^n)
    所以(1-x)^n+(1+x)^n=2[Cn0+Cn2(x^2)+Cn4(x^4)+.....],而-1≤x≤1,所以
    x^2n≤1所以2[Cn0+Cn2(x^2)+Cn4(x^4)+....]≤2[Cn0+Cn2+Cn4+....]=
    2×2^(n-1)=2^n
    由于无法打出组合数公式,所以只能根据读音顺序打,例如Cn0,Cn1

    1***

    2005-08-24 12:32:58

  • 2005-08-24 12:31:33
  • -1≤x≤1,1≤n,
    (1-X)^n +(1 +X)^n=
    =[1-C(n,1)X+C(n,2)X^2-。。+(-X))^n]+
    +[1+C(n,1)X+C(n,2)X^2+。。+(X))^n]=
    =2[1+C(n,2)X^2+C(n,4)X^4。。+。。]≤
    ≤2[1+C(n,2)+C(n,4)。。+。。]=
    =[1-C(n,1)+C(n,2)-。。+(-1))^n]+
    +[1+C(n,1)+C(n,2)+。。+(1))^n]=
    =(1-1)^n +(1 +1)^n=2^n。

    1***

    2005-08-24 12:31:33

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