(1)
因为△ABC为等腰三角形，所以有三种情况：
①以C为顶点，A、B为两个底角顶点。此时，因为点C在x轴的正半轴上，那么很明显有CB＞CA。这样就不可能构成以C为顶点的等腰三角形。
②以B为顶点。此时，很明显有BC＞BO＞BA，也不可能够成等腰三角形。
  
③所以，只能是以点A为顶点。此时就有可能存在点C，使得AB=AC
因为点C在x轴的正半轴上，设点C(x,0)（x＞0）
那么，根据两点间距离公式得到：
AB=3-1=2
AC=√[x^2+1]
所以：x^2+1=2^2=4
则，x=√3，【x=-√3＜0，舍去】
即，点C(√3,0)
(2)
抛物线y=ax^2+bx+c关于y轴对称，所以：b=0
即，y=ax^2+c
已知它经过点A(0,1)，D(3,-2)，将两点坐标代入得到：
c=1
9a+c=-2
所以：a=-1/3，c=1
则抛物线解析式为：y=(-1/3)x^2+1
(3)
由(2)知，抛物线为：y=(-1/3)x^2+1
设它上面的点P(m,(-1/3)m^2+1)，点P关于直线AC的对称点为点Q，已知点Q在x轴上
如图
已知在Rt△AOC中，AO=1，CO=√3,AC=AB=2
所以，∠ACO=30°
所以，∠QCN=∠ACO=30°
因为点P、Q是关于直线AC的对称点
那么，∠PCN=∠QCN
即，∠PCQ=60°
过点P作x轴的垂线，垂足为M
那么，PM=|(-1/3)m^2+1|，MC=|m-√3|
那么，在Rt△PMC中，tan∠PCM=tan60°=|PM|/|CM|
===> |(-1/3)m^2+1|/|m-√3|=√3
===> (-1/3)m^2+1=√3*(m-√3)，或者(-1/3)m^2+1=-√3(m-√3)
===> m1=√3，m2=2√3，m3=-4√3（舍去，因为此时点P位于x轴的左侧，且它在直线AC之下，那么它关于直线AC的对称点肯定就不可能在x轴上。
  ）
所以，m=√3，或者m=2√3
【说明：当m=√3时，点P(√3,0)就与点C重合，也在直线AC上，那么它关于直线的对称点就是自身，可以认为也满足条件】
综上：点P(√3,0)，或者点P(2√3,-3)。