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初中几何-五边形问题

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初中几何-五边形问题

设正五边形ABCDE的五个顶点中,每两点连成一线段,这样十条线段的平方和记为Q,其中每三点连成一个三角形,这样十个三角形面积平方和记为P. 求证:Q^2/P=80.

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  • 2009-04-05 20:25:28
    证明 设正五边形的边长为a, 因正五边形的五条对角线相等,令对角线长为b. 用相似三角形可得:
    a:b=(b-a):a,
    所以得:
    b^2-ab-a^2=0 
     a^4+b^4=3a^2*b^2.
    因此有
    Q^2=[5(a^2+b^2)]^2=25(a^4+b^4+3a^2*b^2)=125a^2*b^2.  (1)
    正五边形ABCDE的五个顶点,其中每三点连成一个三角形,这十个三角形有两种等腰三角形, 即a,b,b和a,a,b两种。故
    P=5[S(abb)]^2+5[S(aab)]^2
    =5[(b/2)*√(a^2-b^2/4)]^2+5[(a/2)*√(b^2-a^2/4)]^2
    =(5/16)*[4a^2*b^2-b^4+4a^2*b^2-a^4]=25a^2*b^2/16.  (2)
    故得:Q^2/P=80。
    

    m***

    2009-04-05 20:25:28

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