函数级数证明题
求证:函数级数∑(-1)^n/(x+2^n)在区间(2,+∞)一致收敛.
对于任意x∈(2,+∞),Un=(-1)^n/(x+2^n)有意义, 以下利用Cauchy一致收敛准则证明之。 对于从k=n+1到k=n+p,(p是任意正整数)求和 │∑(-1)^k/(x+2^k) │ =│1/[x+2^(n+1)-1/[x+2^(n+2)+1/[x+2^(n+3)-。
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+(-1)^(p+1)/[x+2^(n+p)]│ ≤1/[x+2^(n+1)+1/[x+2^(n+p)] ≤2/[x+2^(n+1)] <2/[2^(n+1)-2] =1/[2^n -1] 令1/[2^n -1]<ε 则2^n >1+ 1/ε 取n >1+ 1/ε 必有2^n > n >1+ 1/ε 对于任意ε>0,存在正整数N=1+ 1/ε, 当n>N时,对于任意x∈(2,+∞)和任意正整数p 从 k=n+1 到 k=n+p 的和 │∑(-1)^k/(x+2^k)│<ε恒成立 所以,函数级数∑(-1)^n/(x+2^n)在区间(2,+∞)一致收敛. 。
答:级数收敛与发散的柯西准则说: 1、若级数∑An收敛,则对任意ε>0,存在N,使得当m>p>N时,都有 |(p→m)∑An|0,对任意N,存在m>p>N,使得 |...详情>>
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