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函数幂级数展开式:

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函数幂级数展开式:

求 1/(1-x) 在x=0处的展开式

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  • 2013-05-26 08:02:22
      这是公比为q=x的等比级数求和公式的反过来应用,可以直接使用,没有必要写出具体过程。
    如果一定要写,就写在下面,略有点麻烦。
    其中第④步要用到收敛的等比级数的余项级数(仍然是等比级数)和【这是中学知识】。
    ①f(x)=1/(1-x),f'(x)=1/(1-x)^2,f''(x)=2!/(1-x)^3,f'''(x)=3!/(1-x)^4,……,
    [f(x)](n阶导)=n!/(1-x)^(n+1),
    ②f(0)=1,f'(0)=1,f''(0)=2!,f‘''(0)=3!,……,f^(0)=n!
    ③写出Pn(x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n
    ④因为 |x|<1时,|r(x)|=|x^(n+1)+x^(n+2)+x^(n+3)+x^(n+4)+……|
    =[|x|^(n+1)](1+x+x^2+x^3+……+x^n+……)
    =[|x|^(n+1)]/(1-x),
    所以n→∞时,|r(x)|→0。
       ⑤结论f(x)=1/(1-x)=∑x^n ,-1<x<1。

    山***

    2013-05-26 08:02:22

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