导数应用题,在等腰梯形ABCD中,设上底CD=40,腰长AD=4? 爱问知识人

问AB多长时,等腰梯形的面积最大?

导数应用题,在等腰梯形ABCD中,设上底CD=40,腰长AD=40,问AB多长时,等腰梯形的面积最大?S'=1600(COSθ+1)(2COSθ-1)
再用换元法.令cosθ=t,在负无穷到－１和１到正无穷上递增，－１到１／２上递减．定义域为０到１那么当取t=1/2时函数应有最小值，为什么是最大值？

小***

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θ很明显是底角，在0到π/2之间取值。
令cosθ＝t，则t∈(0，1)，在（0，1/2）内s'＜0，在(1/2，1)内，s'＞0。
t＝1/2对应θ＝π/3，而t的单调性与θ的单调性相反，所以当θ∈(0，π/3)时，t＞1/2，s'＞0；当θ∈(π/3，π/2)时，t＜1/2，s'＜0，所以s在θ＝π/3时取得极大值，也即最大值。
－－－－－－－－－－－－－
如楼上所说，没有必要换元，反而更麻烦。

日***

2007-10-07 11:12:41

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你题目没有写出来，这里θ的取值范围是什么？按0≤θ0；(1/3)π0；
所以函数S(θ)在[0,π/3]单调增加，在[π/3,5π/3]单调减少，
在[5π/3,2π)单调增加，
函数在θ=π/3取得最大值，在θ=5π/3取得最小值。
你的问题是“令cosθ=t”时，没有考虑θ与t是不是有同样的单调性，所以如果数学概念不是非常清楚，讨论函数单调性时，不要换自变量。如果数学概念清楚，变换自变量以后也可以讨论正确的，但可能只有多了些麻烦，没有什么好处的。

1***

2007-10-07 07:14:31

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