在半径为R的半圆内，内接一矩形，问矩形的边长为何值时，矩形的周长? 爱问知识人

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内接一矩形，问矩形的边长为何值时，矩形的周长最大？

在半径为R的半圆内，内接一矩形，问矩形的边长为何值时，矩形的周长最大？请用导数的极值回答

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设ABCD为半圆的内接矩形,其中A、D在半圆上,圆心为O,连接OA、OD;若设宽BC=x,则长为BC=2×根号(R^2-x^2)=2×根号(R^2-x^2),周长F(x)=2[x+2×根号(R^2-x^2)]。令其导数F'(x)=2[1+(-2x)/[2×根号(R^2-x^2)]=0,得矩形宽x=R/2,长=(根号3)R;此时周长F(x)(最大值)=[1+2(根号3)]R。

柳***

2008-01-07 19:52:56

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设矩形的一边长是x，则其一、另一边乘是√(4R^2-x^2),所以，周长
S=2[x+√(4R^2-x^2)]
S'=2+2*(1/2)(-2x)*1/√(4R^2-x^2)
=2-2x/√(4R^2-x^2)
S'=0--->x/√(4R^2-x^2)=1
--->x=√(4R^2-x^2)
--->x^2=4R^2-x^2
S'=0--->2R^2=x^2
--->x=R√2,√(4R^2-x^2)=R√2
所以矩形的邻边相等侧正方形时，矩形的周长最大。

y***

2008-01-07 19:16:27

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