无穷小的阶数
当x趋于0时,求ln(1+x)-x+(1/2)x^2无穷小的阶数.
设f(x)=ln(1+x)-x+(1/2)x^2 x→0时f(x)/x^3→[1/(1+x)-1+x]/3x^2 =x^2/[2(1+x)x^2]=1/3(1+x)→1/2 根据无穷小阶的定义, 3阶无穷小. ------------------------------------ 对不起,看到新提问较迟,故答复也迟了. 怎么想到3阶? 逻辑的方式,可以从幂级展开式得到. (因无法确定您目前的状况,如果是初学者,幂级数可能还要在后面学习) 然而在实际解题中,往往采用直觉的方式, 因为有x^2项,故至少是2阶的. 估计3阶的可能性较大(仅是估计,但这也是一种思维能力) 用x^3去除,求极限. 如果极限是常数,说明估计正确. 如果极限是无穷,说明一定是2阶的. 如果是0,说明可能是4阶甚至更高(可能性较小). 就这样.
通过洛必达法则我们知道,当两个函数自变量x趋近0,函数值也趋近0时,两个函数的比值的极限等于导数的比值极限。我们不妨对等式求导,得到: f(x)=x^2/(1+x),而f(x)与x^2等价无穷小,反推回去,我们知道,原等式与x^3等价无穷小。故等式的无穷小阶数应该为3.
由ln(1+x)的幂级数展开式,想到所求式子是三阶无穷小。
问:求函数的阶下列函数为x->0时的无穷小,若取x为基本无穷小,求它的阶。 X^3+X^5 希望有些解释。谢谢。
答:若x->0时,Y/(X^n)=常数K(不等于0),则我们称y是n阶无穷小 而x->0时,(x^3+x^5)/x^3=1 所以 x^3+x^5是3阶无穷小详情>>
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