我请问一下关于中国剩余定理的问题.我想问如果题目不是出3 5 7这些数,余数（差...
我请问一下关于中国剩余定理的问题.
我想问如果题目不是出3 5 7这些数,余数（差）不同,用中国剩余定理来解怎么解?
在我国古代劳动人民中,长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”,甚至远渡重洋,输入日本： “三人同行七十稀,五树梅花廿一枝, 七子团圆正半月,除百零五便得知。” 这些饶有趣味的数学游戏,以各种不同形式,介绍世界闻名的“孙子问题”的解法,通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题,它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数,三个一数余二,五个一数余三,七个一数又余二,问该物总数几何?显然,这相当于求不定方程组 N=3x 2,N=5y 3,N=7x 2 的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价干解下列的一次同余组。
《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单,这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之,取数七十,与余数二相乘；五五数之,取数二十一,与余数三相乘；七七数之,取数十五,与余数二相乘。
将诸乘积相加,然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N=70×3 21×3 15×2－2×105。 这里105是模数3、5、7的最小公倍数,容易看出,《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形,《孙子算经》术文指出,只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。
以R1、R2、R3表示这些余数,那么《孙子算经》相当于给出公式 N=70×R1 21×R2 15×R3－P×105（p是整数）。 孙子算法的关键,在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”,就是暗指这三个关键的数字。
《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上,它们具有如下特性： 也就是说,这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后,再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2,K2=1,K3=1,那么整数Ki（i=1,2,3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。
由此出发,立即可以推出,在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。 应用上述推理,可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N,分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn,即 N≡Ri（mod ai）（i=1、2、……n）, 只需求出一组数K,使满足 1（mod ai）（i=1、2、……n）, 那么适合已给一次同余组的最小正数解是 （P是整数,M=a1×a2×……×an）, 这就是现代数论中著名的剩余定理。
如上所说,它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。
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