反证法。 若β与α1,α2,...,αr线性有关，则不全为0的实数m,m1,m2,……，mr,使得mβ+m1α1+m2α2+...+mrαr=0. ∵非零向量β与α1,α2,...,αr都正交， ∴β*αi=0,i=1,2,……，r. ∴β*（mβ+m1α1+m2α2+...+mrαr）=m|β|^2=0*β=0, ∴m=0. ∴m1α1+m2α2+...+mrαr=0， 这与“向量α1,α2,...,αr线性无关”矛盾， ∴β与α1,α2,...,αr线性无关。
用反证法:
假设β,α1,α2,…,αr线性相关，则存在不全为零的实数k,k1,……，kr。使得
kβ+k1α1+……+krαr＝0,因为α1,α2,…,αr线性无关，必有k≠0,
且β＝（-k1/k）α1+……+（-kr/k）αr.
因为向量β与α1,α2,…,αr都正交,
β·β＝β·（（-k1/k）α1+……+（-kr/k）αr）
＝（-k1/k）（β·α1）+……+（-kr/k）（β·αr）
＝0
得到β＝0,与β≠0矛盾,故假设错误,
所以 β,α1,α2,…,αr线性无关。
根据线性无关的定义，对于k0,k1,…,kr,考虑 k0*β+k1*α1+…+kr*αr=0 用β作用后，得到 k0*+k1+…+k1=0 因为非零向量β与α1,α2,...,αr都正交，所以 =…==0,≠0 ==> k0=0 ==> k1*α1+…+kr*αr=0 ∵α1,α2,...,αr线性无关，∴ k1=…=kr=0. 故k0=k1=…=kr=0,β与α1,α2,...,αr线性无关。
答：证：有 k1 ,k2,k3...kn 使k1*a1+k2*a2+...+kn*an=0 不妨左乘a1^t (向量a1的转置) 因(a1,a2,...an)是正交...详情>>
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