高二数学题
第一题:直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ABC=90°,AB=a,BC=b,BB1=c,M,N为B1C1和AC中点,求(1)异面直线AB1与BC1成角(2)MN长(3)MN与底面ABC所成角 第二题:四棱锥S-ABCD的底面边长为4,高为6,P是高的中点,点Q是侧面SBC的重心。求(1)P,Q两点间距离(2)异面直线PQ与BS所成角的余弦值(3)直线PQ与底面ABCD所成角
因为每个题目都涉及到几个小题,而上传文件有大小限制,所以作图有点复杂,看起来有点困难,请谅解。 第一题:直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ABC=90°,AB=a,BC=b,BB1=c,M,N为B1C1和AC中点,求 (1)异面直线AB1与BC1成角 因为是直三棱柱,且∠ABC=90° ,AB=a,BC=b,BB1=c 所以,由勾股定理可以得到: AC=√(a^2+b^2) BC1=√(b^2+c^2) AB1=√(a^2+c^2) 过点M作BC的垂线,垂足为E,且ME交BC1于点O; 取AB中点F,BB1中点G,连接EF、EN、MG、MN、FG 因为点M、G分别为B1C1、BB1中点 所以,MG为△B1BC1中位线 所以,MG//BC1,且MG=BC1/2=√(b^2+c^2)/2 同理,FG//AB1,且FG=AB1/2=√(a^2+c^2)/2 EF//AC,且EF=AC/2=√(a^2+b^2)/2 那么,∠MGF就是异面直线AB1与BC1所成的角 因为ME⊥BC 所以,ME=BB1=c 所以,在Rt△MEF中由勾股定理得到:MF^2=ME^2+EF^2=c^2+[√(a^2+b^2)/2]^2=c^2+(a^2+b^2)/4=(a^2+b^2+4c^2)/4 则,在△MGF中,由余弦定理有:cos∠MGF=(MG^2+FG^2-MF^2)/(2MG*FG) 即:cos∠MGF=[(b^2+c^2)/4+(a^2+c^2)/4-(a^2+b^2+4c^2)/4]/[2*√(b^2+c^2)/2*√(a^2+c^2)/2] =-c^2/[√(b^2+c^2)*(a^2+c^2)]<0 因为异面直线间所成的角为锐角 所以,∠MGF=π-arccos[c^2/√(b^2+c^2)*(a^2+c^2)] (2)MN长 因为点E、N分别为BC、AC中点,所以EN为△ABC中位线 所以,EN=AB/2=a/2 而ME⊥面ABC,且ME=BB1=c 所以,由勾股定理有:MN^2=ME^2+NE^2=c^2+(a/2)^2=c^2+(a^2/4)=(c^2+4a^2)/4 所以,MN=√(c^2+4a^2)/2 (3)MN与底面ABC所成角 MN与底面ABC所成的角就是∠MNE 所以,tan∠MNE=ME/EN=c/(a/2)=2c/a 所以,∠MNE=arctan(2c/a) 第二题:四棱锥S-ABCD的底面边长为4,高为6,P是高的中点,点Q是侧面SBC的重心。
求 (1)P,Q两点间距离 因为S-ABCD为正四棱锥,所以侧棱SA=SB=SC=SD 过点S作底面ABCD的垂线,垂足为O 则,点O为底面正方形ABCD的中心 已知ABCD边长为4,所以:OA=OB=OC=OD=2√2 已知SO=6 所以,由勾股定理得到侧棱SA=SB=SC=SD=2√11 连接SQ并延长,交BC于点E 因为SB=SC 所以,SE⊥BE,且E为BC中点 那么,OE=BE=CE=AB/2=2 则由勾股定理有:SE=√(SO^2+0E^2)=2√10 那么,cos∠OSE=SO/SE=6/(2√10)=3/√10 已知点Q为侧面△SBC的重心,所以:SQ/QE=2 所以,SQ=(2/3)*SE=(2/3)*2√10=(4√10)/3 已知点P为SO中点 所以,SP=SO/2=6/2=3 那么,在△SPQ中,由余弦定理有:PQ^2=SP^2+SQ^2-2SP*SQ*cos∠PSQ =9+(160/9)-2*3*(4√10/3)*(3/√10) =5/3 所以,PQ=√(5/3)=(√15)/3 (2)异面直线PQ与BS所成角的余弦值 过点Q作SB的平行线,交BC于点F 则,∠PQF即为异面直线PQ与SB所成的角 因为QF//SB 所以,EQ/SE=QF/SB=EF/EB 即,1/3=QF/2√11=EF/2 所以,QF=2√11/3,EF=2/3 而,OE⊥BC 所以,由勾股定理有:OF^2=OE^2+EF^2=4+(4/9)=40/9 而,PO⊥面ABCD 所以,又有PF^2=PO^2+OF^2=9+(40/9)=121/9 那么,在△PQF中由余弦定理有:cos∠PQF=(PQ^2+QF^2-PF^2)/(2PQ*QF) =[(5/3)+(44/9)-(121/9)]/[2*(√15/3)*(2√11/3)] =-31/(2√165) 所以,异面直线PQ、SB所成角的余弦值为31/(2√165) (3)直线PQ与底面ABCD所成角 过点E作PQ的平行线,交SO于点G 因为EG//PQ 所以,EG与面ABCD所成的角即为PQ与底面ABCD所成的角 因为PQ//GE 所以,SP/SG=SQ/SE=2/3 即,3/SG=2/3 所以,SG=9/2 那么,OG=S0-SG=6-(9/2)=3/2 那么,tan∠GEO=OG/OE=(3/2)/2=3/4 所以,∠GEO=arctan(3/4) 即,PQ与底面ABCD所成的角为arctan(3/4)。
答:延长C1C到N,令CN=CM。则AN//A1M。所以就是求AN和AB1的角度了。 三角形NAB1中,AN=厂(3+3/2) 唉,真难打字,直角三角形ACN,可以...详情>>
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