1）数列前n项的和Sn满足：
(S1+1)/a1+(S2+2)/a2+……+(Sn+n)/a=3n/2………………（1）
那么，当n=1时，S1=a1
且：(S1+1)/a1=3/2
则，a1=2
由(1)式有：
(S1+1)/a1+(S2+2)/a2+……+[S+(n-1)]/a=3(n-1)/2………………………………………………………………（2）
(1)-(2)得到：
(Sn+n)/a=3/2
即：Sn=(3/2)a-n……………………………………………（3）
则又有：S=(3/2)a-(n-1)…………………………（4）
(3)-(4)得到：
a=(3/2)a-(3/2)a-1
所以：a=3a+2
那么，[a+1]=3[a+1]
令a+1=b，则：a+1=b
则，b=3b
所以，数列b是以b1=a1+1=3为首项，公比q=3的等比数列
则，b=b1*q^(n-1)=3*3^(n-1)=3^n
所以：a=3^n-1
2)
不等式左边中：[a+1]/[a*a]
=[(3^n-1)+1]/[(3^n-1)*(3^(n+1)-1)]
=3^n/[(3^n-1)*(3^(n+1)-1)]………………………………（1）
令其=A/(3^n-1)-B/(3^(n+1)-1)
则 ：=[A*3^(n+1)-A-B*3^n+B]/[(3^n-1)*(3^(n+1)-1)]
=[(3A-B)*3^n-(A-B)]/[(3^n-1)*(3^(n+1)-1)]…………（2）
比较(1)(2)两式，就有：
3A-B=1
A-B=0
所以：A=B=1/2
那么，代入到(2)式，就有：
[a+1]/[a*a]=[(1/2)/(3^n-1)]-[(1/2)/(3^(n+1)-1)]
=(1/2)*[1/(3^n-1)-1/(3^(n+1)-1)]
所以，不等式的左边
=(1/2)*{[1/(3^1-1)-1/(3^2-1)]+[1/(3^2-1)-1/(3^3-1)]+……+[1/(3^n-1)-1/(3^(n+1)-1)]}
=(1/2)*[1/(3^1-1)-1/(3^(n+1)-1)]
=(1/2)*[(1/2)-1/(3^(n+1)-1)]
=(1/4)-[1/2*(3^(n+1)-1)]
＜1/4
故，命题成立。
易得(sn+n)/an=3/2 (*)
令n=1，得
s1=a1=2
由（*）式可得
s(n)=3a(n)/2-n 及 s(n-1)=3a(n-1)/2-n+1，两式相减
a（n）=3a(n-1)+2 这两行中园括号里是下脚标
进而得到
an=3^n-1 即an等于3的n次幂再减1
关于第二问，把单个分式拆开即可
[a（n）+1]/a(n)a(n+1)={1/[3^n-1]-1/[3^(n+1)-1]}/2
没用公式编辑器，写得比较乱
举个例子
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)
=1/1-1/4
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