1。 将(2+√5)^(2t+1),t>0展开得: (2+√5)^(2t+1)=D(t)+E(t)√5, 其中D(t),E(t)为正整数。 显然(2-√5)^(2t+1)=D(t)-E(t)√5。 2。 D(t)=[(2+√5)^(2t+1)+(2-√5)^(2t+1)]/2, E(t)=[(2+√5)^(2t+1)-(2-√5)^(2t+1)]/[2√5]。
看(2+√5)^(2t+1)的首尾项得: D(t)>2^(2t+1),E(t)>5^t。 3。 D(t)^2+1= =[(2+√5)^(4t+2)+2*(2+√5)^(2t+1)(2-√5)^(2t+1)+ +(2-√5)^(4t+2)+4]/4= =[(2+√5)^(4t+2)-2*(2+√5)^(2t+1)(2-√5)^(2t+1)+ +(2-√5)^(4t+2)]/4= =[(2+√5)^(2t+1)-(2-√5)^(2t+1)]^2/4= =5*{[(2+√5)^(2t+1)-(2-√5)^(2t+1)]^2/[2√5]}^2= =5*E(t)^2 4。
用反证法易得:D(t)/2>E(t),设n=D(t),m=E(t), n^2+1=5m^2显然满足命题。 。
答：在证明4-1中有无穷多个正整数满足: D(t)^2+1=5*E(t)^2,其中D(t)/2>E(t). 设n=D(t),m=E(t),则 n^2+1=5m^2,...详情>>
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