一元二次方程
人教版9年级数学上册会学到，冀教版9年级数学上册第二十九章会学到。
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
一般形式：ax^2 bx c=0(a≠0)
一般解法有四种：
⒈公式法（直接开平方法）
⒉配方法
⒊公式法
⒋因式分解法
5。
十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2 a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例题
例1把2x^2-7x 3分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
11
╳
23
1×3 2×1
=5
13
╳
21
1×1 2×3
=7
1-1
╳
2-3
1×(-3) 2×(-1)
=-5
1-3
╳
2-1
1×(-1) 2×(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7。
解2x^2-7x 3=(x-3)(2x-1)。
一般地，对于二次三项式ax2 bx c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1c1
?╳
a2c2
a1c2 a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式ax2 bx c的一次项系数b，即a1c2 a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1与a2x c2之积，即
ax2 bx c=(a1x c1)(a2x c2)。
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2把6x^2-7x-5分解因式。
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
21
╳
3-5
2×(-5) 3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。
解6x^2-7x-5=(2x 1)(3x-5)
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x^2 2x-15分解因式，十字相乘法是
1-3
╳
15
1×5 1×(-3)=2
所以x^2 2x-15=(x-3)(x 5)。
例3把5x^2 6xy-8y^2分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
12
?╳
5-4
1×(-4) 5×2=6
解5x^2 6xy-8y^2=(x 2y)(5x-4y)。
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式。
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了。
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y) 1]
=(x-y-2)(2x-2y 1)。
1-2
╳
21
1×1 2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
例5x^2 2x-15
分析：常数项(-15)0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x 1)2=7×
∴(3x 1)2=5
∴3x 1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解：9x2-24x 16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2 bx c=0(a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2 bx=-c
将二次项系数化为1：x2 x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2 x ()2=- ()2
方程左边成为一个完全平方式：(x )2=
当b2-4ac≥0时，x =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x ()2= ()2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=。
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x 5=0
∴a=2,b=-8,c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x===
∴原方程的解为x1=,x2=。
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1)(x 3)(x-6)=-8(2)2x2 3x=0
(3)6x2 5x-50=0(选学）(4)x2-2( )x 4=0（选学）
(1)解：(x 3)(x-6)=-8化简整理得
x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x 2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x 2=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2 3x=0
x(2x 3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x 3=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2 5x-50=0
(2x-5)(3x 10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x 10=0
∴x1=,x2=-是原方程的解。
(4)解：x2-2( )x 4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
5。十字相乘法
可对形如y=x^2＋(p q)x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋(p q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)
二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。
[编辑本段]附注
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0；
n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。
答：现在差不多忘了,不过看到题目我就知道怎么解了详情>>
答：详情>>
