向量组的线性表示
设向量组α1=(-1,4,1),α2=(-2,5,1),α3=(a,10,2),β=(1,c,b).当a,b,c满足什么条件时
(1)β不能由α1，α2，α3线性表示
(2)β能由α1，α2，α3线性表示，但表示不唯一，并写出一般的表达式。
-1 -2 a 1
4 5 10 c
1 1 2 b
r1 r3, r2-4r3
0 -1 a 2 b 1
0 1 2 c-4b
1 1 2 b
r1 r2
0 0 a 4 c-3b 1
0 1 2 c-4b
1 1 2 b
r1r3
1 1 2 b
0 1 2 c-4b
0 0 a 4 c-3b 1
所以有:
当 a≠-4 时, 方程组有唯一解 (此时系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=3)
对应β可由α1，α2，α3唯一线性表示。
当 a=-4, c-3b 1≠0 时, 方程组无解 (此时 r(A)=2, 增广矩阵的秩=3)
对应β不能由α1，α2，α3线性表示。
当 a=-4, c-3b 1=0 时, 方程组无穷多解 (此时 r(A)=2=增广矩阵的秩<3)
对应β能由α1，α2，α3线性表示，但表示不唯一。
增广矩阵继续化成行简化梯矩阵
1 1 2 b
0 1 2 -1-b
0 0 0 0
r1-r2
1 0 0 1 2b
0 1 2 -1-b
0 0 0 0
此时, β = (1 2b)α1 (2k-b-1)α2-kα3, k为任意常数。
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