高一数学问题f(xy)=f(x)+f(y)已知y=f(x)的反函爱问知识人

高一数学问题f(xy)=f(x) f(y)

高一数学问题f(xy)=f(x)+f(y)

已知y=f(x)的反函数是y=f^-1(x),且f(xy)=f(x)+f(y),求证:f^-1(x+y)=f^-1(x)f^-1(y)

阿***

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记y=f(x)的反函数为g(x)
令m=f(x),n=f(y)--->x=g(m),y=g(n)
--->m+n=f(x)+f(y)
依定义有f(x)+f(y)=f(xy)
于是m+n=f(xy)
取反函数得到xy=g(m+n)
把x=g(m),y=g(n)代入，得到g(m)g(n)=g(m+n),
再用x,y代换m,n，就得到g(x)+g(y)=g(x+y).证完.

y***

2006-12-25 18:07:43

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f[f^-1(x+y)]=x+y
f[f^-1(x)f^-1(y)]=f[f^-1(x)]+f[f^-1(y)]=x+y
又因为y=f(x)存在反函数
当f（x）=f（y）时，有x=y
所以  f^-1(x+y)=f^-1(x)f^-1(y)

青***

2006-12-25 17:51:07

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