a,b,c,x,y,z均为非负数若a^2+b^2+c^2=16? 爱问知识人

求ax by cz的最大值

求ax+by+cz的最大值

a,b,c,x,y,z均为非负数。 
若a^2+b^2+c^2=16,x^2+y^2+z^2=9, 
求ax+by+cz的最大值，以及取得最大值时的条件。 
请用初中数学知识解答。

2***

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因为(3a-4x)^2+(3b-4y)^2+(3c-4z)^2≥0(*)
所以9(a^2+b^2+c^2)+16(x^2+y^2+z^2)-24(ax+by+cz)≥0
288-24(ax+by+cz)≥0, ax+by+cz≤12(**)
即ax+by+cz的最大值为12. 
取得最大值的条件，即(*)式等号成立的条件是： 
3a-4x=3b-4y=3c-4z=0,
a/x=b/y=c/z=4/3

B***

2012-06-14 15:14:24

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构造向量m=(a，b，c)，n=(x，y，z)，则
|m·n|^2≤|m|·|n|
→(ax+by+cz)^2
≤(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
=16×9
=144，
∴0
		                全部

柳***

2012-06-14 16:36:36

49 6 评论

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由柯西不等式有：(a^2+b^2+c^2)*(x^2+y^2+z^2)≥(ax+by+cz)^2
所以，(ax+by+cz)^2≤16*9=144
因为a、b、c、x、y、z为非负数
所以，ax+by+cz≤12
即，ax+by+cz的最大值为12.取得最大值的条件是：a/x=b/y=c/z=4/3.

T***

2012-06-14 15:32:03

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