整数与余数
设a,b是正整数,n是非负整数,试证若a^n/b,则a^(n+1)/[(a+1)^b-1]
"试证若a^n|b,则a^(n+1)|[(a+1)^b-1] " 记号:p为质数,m=p^s*u,(p,u)=1, 则记pot[p](m)=s。 C(n,k)为n个数中选k个的选法数。 命题:m|n《==》所有质数p,有pot[p](m)≤pot[p](n)。
定理:pot[p](C(p^s,k))=s-pot[p](k)。 1。b=ka^n,(a+1)^b-1 =[(a+1)^(a^n)-1]*K K为整数,只需证明a^(n+1)|[(a+1)^(a^n)-1]。 2。设pot[p](a)=s≥1,a=p^s*u,(p,u)=1, ==》(a+1)^(a^n)-1= =(a+1)^[(p^s*u)^n]-1= ={(a+1)^[(p^s)^n]-1}*K={(a+1)^[p^(ns)]-1}*K K为整数,只需证明(p^s)^(n+1)|(a+1)^[p^(ns)]-1 由命题得只需证明: pot[p]((p^s)^(n+1))=s(n+1)≤ ≤pot[p]((a+1)^[p^(ns)]-1)。
3。(a+1)^[p^(ns)]-1= (p^s*u+1)^[p^(ns)]-1= =p^(ns)*p^s*u+C(p^(ns),2)[p^s*u]^2+。。+ +[p^s*u]^[p^(ns)]。 当t≥1时,使用定理得。 pot[p](C(p^(ns),t)[p^s*u]^t)= =st+pot[p](C(p^(ns),t))= =st+ns-pot[p](t) 设pot[p](t)=b,则t=a*p^b, ==》st+ns-pot[p](t)= =s*a*p^b+ns-b≥s*a*(b+1)+ns-b= =s(a+n)+b(s*a-1)≥s(1+n) ==》 s(n+1)≤ ≤pot[p]((a+1)^[p^(ns)]-1)。
命题得证。 。
答:已知a ,b,c是非负数,而且满足a+b+c=30.3a+b-c=50 又S=50+4b+2c。试求S的最大值和最小值 两式相加,得 4a+2b=80,2a+b...详情>>
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