给出m×n矩阵A和B，可定义它们的和A+B为一m×n矩阵，等i,j项为(A+B)=A+B。举例：另类加法可见于矩阵加法.若给出一矩阵A及一数字c，可定义标量积cA，其中(cA)=cA。例如这两种运算令M(m,n,R)成为一实数线性空间，维数是mn.若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们是乘积AB是一个m×p矩阵，其中(AB)=A*B+A*B+...+A*B对所有i及j。例如此乘法有如下性质：(AB)C=A(BC)对所有k×M矩阵A,m×n矩阵B及n×p矩阵C("结合律").(A+B)C=AC+BC对所有m×n矩阵A及B和n×k矩阵C("分配律")。C(A+B)=CA+CB对所有m×n矩阵A及B和k×m矩阵C("分配律")。要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵A及B使得AB≠BA。对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
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