两个矩阵只有在其行数与列数均分别相同，而且所有相应位置的元素均相等时，才能称为相等。只有在两个矩阵的行数与列数均分别相同时，才能进行加法。矩阵与相加而得和，其中。数乘矩阵是指数域F中任何数α均可去乘F上任意矩阵而得积，即αA仍为m×n矩阵，其第i行第j列的元素为ααij，i=1，2,…,m；j=1,2,…,n。
只有一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数时，这两个矩阵才能进行乘法：一个m×n矩阵A=(αij)去乘一个n×p矩阵B=(bij)而得积AB是一个m×p矩阵D=(dij)，其中，即AB的行数与A的行数相同，而其列数与B的列数相同。此种乘法规则也适用于分块矩阵(即将元素划分成若干小矩阵块的矩阵)。
分块时A的列的分法应与B的行的分法一致。矩阵运算有以下性质：A+B=B+A；A+(B+C)=(A+B)+C；α(A+B)=αA+αB；(α+β)A=αA+βA；α(βA)=(αβ)A；α(AB)=(αA)B=A(αB)；A(BC)=(AB)C；(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC，这里A、B、C表示矩阵，α表示数域F中的数。
当一个m×n矩阵的全部元素均为0时,就称为零矩阵，记作Om×n。对于任意一个m×n矩阵A，恒有A+Om×n=A；且恒有惟一的一个m×n矩阵B=(-1)A，使A+B=Om×n，此B称为A的负矩阵，简记为-A。易知-A的负矩阵就是A，即-(-A)=A。
数域F上的所有m×n矩阵按上述矩阵加法和数乘矩阵运算，构成F上的一个mn维向量空间；F上的所有n阶矩阵按矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F上的n阶全阵环。F上的n阶全阵环视为F上的n2维向量空间，就构成F上的n阶全阵代数。
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