设[p(p+1)+2]/2=k^2 则p(p+1)=2(k-1)(k+1) ∵p质数 ∴p≥2，p=2,k=2,符合 p>2时，k>2,由p质数知，p是k-1,或k+1中的一个， 又∵2(k+1)-(k-1)>1 ->p=k-1，p+1=2k+1不符合 ∴p=k+1,p+1=2(k-1) ->k=4,p=5 ∴p=2或5.
设[p(p+1)+2]/2=a² 所以p(p+1)=2a²-2=2（a+1）（a-1） 因为p为质数，所以①p|a-1或者②p|a+1或者③p|2 ①当p|a-1时，设a-1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp+1 所以p(p+1)=2kp（kp+2） 所以p+1=2k（kp+2） 所以（2k²-1）p=1-4k 因为（2k²-1）>0,所以（2k²-1）p 又因为1-4k1+4k 所以k=1或者2。
当k=1时，（2k²-1）p=1+4k==>p=5 当k=2时，（2k²-1）p=1+4k==>7p=9，所以不存在质数p。 ③当p|2时，因为p是质数。 所以p=2。 综上所述，p=2或者p=5。 验算： 当p=2时，[p(p+1)+2]/2=4=2² 当p=5时，[p(p+1)+2]/2=16=4²。
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