向量基础证明题（但是老师也不会）请高人进来指点下
若A，B，C三点不共线，0是平面ABC外一点， 向量: OM=1/3OA+1/3OB+1/3OCM，则M一定在平面ABC上，且在△ABC内部。命题正确吗？答案：正确。 对于“则M一定在平面ABC上”，老师证明了；但是“且在△ABC内部。"是怎么回事，请高手指点下
提示:可以用解析几何的方法,建立空间直角坐标系,证明点M、A、B、C在同一平面内,再证明点M、A在直线BC的同一侧。 证明:过A作AD⊥BC于D,以射线DA为y轴的正半轴,直线BC为x轴,过D且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,设点A、B、C的坐标分别是(0,a,0)、(b,0,0)、(c,0,0)(其中a>0),再设点O的坐标是(u,v,w),则 向量OA=(-u,a-v,-w),向量OB=(b-u,-v,-w),向量OA=(c-u,-v,-w)。
因此 向量OM=(1/3)(向量OA+向量OB+向量OC) =(1/3)((-u,a-v,-w)+(b-u,-v,-w)+(c-u,-v,-w) =(b/3+c/3-u,a/3-v,-w)。 由点O的坐标(u,v,w)和上述结论可知点M的坐标是 (b/3+c/3-u+u,a/3-v+v,-w+w),即(b/3+c/3,a/3,0)。
由于点M的z坐标为0,因此点M在x轴和y轴确定的平面内,即点M在平面ABC内。 由于点A的y坐标a和点M的y坐标都大于0,由上述结论可得点M和A在直线BC的同一侧。 同理,按其它方式建立空间直角坐标系后,可以证明: 点M和B在直线CA的同一侧。
点M和C在直线AB的同一侧。 由上述3条结论可知,点M必在△ABC内部。 综上所述,原命题得证。
答：向量OM = 2向量OA - 向量OB - 向量OC = (向量OA - 向量OB) + (向量OA - 向量OC) = 向量BA + 向量CA 因为: (向量...详情>>
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