向量证明题
(1)设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:问a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3何时线性相关,何时线性无关. (2)设ai(i=1,2,...,n)是互不相同的数,向量组αi=(1,ai,ai^2,...,ai^n-1)(i=1,2,...,n).求证:任一n维向量均可由α1,α2,...,αn唯一的线性表示.
这两个题目很简单，就是这里写起来困难，我说一下证明方法，你自己可以完成证明，有不明白处可以再问。 (1)设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:问a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3何时线性相关,何时线性无关。
记A=(a(i,j))——3阶方阵，即第i行是ai1，ai2，ai3（i=1，2，3） B=(αi)，即用向量αi作第i行（i=1，2，3）的矩阵，则 AB是以a11α1+a12α2+a13α3为第1行, a21α1+a22α2+a23α3为第2行, a31α1+a32α2+a33α3为第3行的矩阵，记为C 因为向量组α1,α2,α3线性无关，所以R(B)=3（矩阵的秩知道吧？） 如果R(A)=3即|A|≠0，有R(C)=3,即a11α1+a12α2+a13α3,a21α1+a22α2+a23α3,a31α1+a32α2+a33α3线性无关； 如果R(A)j≥1相乘），线性代数教材上都有这个例题。
因为ai(i=1,2,。。。,n)是互不相同的数，所以|A|≠0，故R(A)=n, 向量组αi=(1,ai,ai^2,。。。,ai^n-1)(i=1,2,。。。,n)线性无关，所以向量组αi=(1,ai,ai^2,。。。,ai^n-1)(i=1,2,。
。。,n)构成n维向量空间的一组基，任一n维向量都可由它们线性表示，且表示法是唯一的。
