1个高数的方法：使用等比级数。
1）ab+bc+cd+da=1=（a+c）（b+d）
所以S= a+c+b+d≥2√（a+c）（b+d）=2，
且a+c,b+d>0，S> a,c,b,d
2）T=a^3/(b+c+d)+ b^3/(a+c+d)+c^3/(b+a+d)+d^3/(b+c+a)=
= a^3/(S-a)+ b^3/(S-b)+c^3/(S-c)+d^3/(S-d)=
= (a^3/S)∑{0≤k≤+∞}(a/S)^k+ (b^3/S) ∑{0≤k≤+∞}(b/S)^k +
+(c^3/S) ∑{0≤k≤+∞}(c/S)^k +(d^3/S) ∑{0≤k≤+∞}(d/S)^k =
=(1/S)∑{0≤k≤+∞}[a^(k+3)+ b^(k+3)+ c^(k+3)+ d^(k+3) ] /S^k
3）使用如下不等式：r≥1时，[（a1+a2+。
。。+an）/n] ^r≤（a1^r+a2^r+。。。+an^r）/n
得a^(k+3)+ b^(k+3)+ c^(k+3)+ d^(k+3) ≥S^（k+3）/4^(k+2)，
所以[a^(k+3)+ b^(k+3)+ c^(k+3)+ d^(k+3) ] /S^k≥S^3/4^(k+2)，
则T≥ S^2∑{0≤k≤+∞}1/4^(k+2)= S^2/12，
4）由1）得T≥2^2/12=1/3。
5）当a=c=b=d=1/2时T=1/3。
方法2：用上面的记号。用两个常用不等式。
1）（A1^2+A2^2+A3^2+A4^2）（B1^2+B2^2+B3^2+B4^2）≥
（A1B1+A2B2+A3B3+A4B4）^2。
2）r>1,（A1^r+A2^r+A3^r+A4^r）/4≥[（A1+A2+A3+A4）/4]^r
用第一个不等式得T*3S=
[a^3/(S-a)+ b^3/(S-b)+c^3/(S-c)+d^3/(S-d)][(S-a)+ (S-b)+(S-c)+(S-d)]
≥[a^（3/2）+ b^（3/2）+c^（3/2）+d^（3/2）]^2。
用第二个不等式得
[a^（3/2）+ b^（3/2）+c^（3/2）+d^（3/2）]/4
≥[（a+ b+c+d）/4]^（3/2）=[S/4]^（3/2）
则T*3S/16≥[a^（3/2）+ b^（3/2）+c^（3/2）+d^（3/2）]^2/16
≥[S/4]^3。
==》
T≥ S^2/12≥2^2/12=1/3。
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先证y=Ax+B/x(A,B>0)， 当0√(B/A)时单调递增。(*) 证明：设00，即y1>y2, 故y单调递减，同理，当x>√(B/A)时y单调递增。 再证原不等式。 证明：由已知得(a+c)(b+d)=1,显然a+c与b+d对称， 故设a+c=e,b+d=f,则ef=1。
左边=[a^3/(1/e+c)+c^3/(1/e+a)]+[b^3/(1/f+d)+d^3/(1/f+b)] =[ea^3/(1+ce)+ec^3/(1+ae)]+[fb^3/(1+df)+fd^3/(1+bf)] 其中ea^3/(1+ce)+ec^3/(1+ae) =e[a^3+c^3+e(a^4+c^4)]/(1+ce)(1+ae) =e[(a+c)(a^2-ac+c^2)+e(a^4+c^4)]/(1+ce)(1+ae) =e^2(a^4+c^4+a^2-ac+c^2)/[(ac)e^2+e^2+1] =e^2{(a+c)^4-4ac[(a+c)^2-2ac]-6(ac)^2+(a+c)^2-3ac}/[(ac)e^2+e^2+1] =e^2[2(ac)^2-(4e^2+3)(ac)+e^4+e^2]/[(ac)e^2+e^2+1] 设ac=x，则0=e(e/2)^3/(1+e*e/2)+e(e/2)^3/(1+e*e/2) =(1/2)e^4/(e^2+2)，当且仅当a=c=e/2时“=”成立。
同理，fb^3/(1+df)+fd^3/(1+bf)>=(1/2)f^4/(f^2+2)， 当且仅当b=d=f/2时“=”成立。 左边>=(1/2)[e^4/(e^2+2))+f^4/(f^2+2)] =(1/2)[2(e^2+f^2)^2+(e^2+f^2)-4]/[2(e^2+f^2)+5] =(1/2)[(e^2+f^2+5/2)+3/(e^2+f^2+5/2)]-9/4 而e^2+f^2+5/2>=2ef+5/2=2+5/2>√3 故由(*)知 左边>=(1/2)[2+5/2+3/(2+5/2)]-9/4=1/3=右边 当且仅当e=f=1,即a=c=b=d=1/2时“=”成立。
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这道题实在是太难了,我想,能答出这道题的网友,他一定是个高手,而且是个大学生,你说是吧?
强
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答：设a,b,c为正实数，且满足abc=1,证明（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤1。 如果（a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+...详情>>
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