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2009-09-07 14:16:50

•   1,(有图)已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a的正三角形,侧棱长为b,∠A1AB=∠A1AC=45度,求此三棱柱的侧面积和体积 
  答案:S棱侧面=((√2)+1)ab 
  V棱柱=a^2b/4 
  如图
  过点A1作底面△ABC所在平面的垂线，垂足为O
  连接AO并延长AO交BC于D
  过O分别作AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，连接A1E、A1F
  因为A1O⊥面ABC
  所以，A1O⊥AB
  又AB⊥OE
  所以，AB⊥面A1OE
  同理，AC⊥面A1OF
  所以，△A1AE、△A1AF均为直角三角形
  已知，∠A1AB=∠A1AC=45°
  所以，A1F=AF=A1E=AE=(√2/2)b
  而，在Rt△AOE中，由勾股定理得到：OE^2=AE^2-A1O^2
  在Rt△AOF中，由勾股定理得到：OF^2=AF^2-A1O^2
  所以，OE=OF
  即说明，AD为∠BAC的平分线
  已知底面△ABC为正三角形
  所以，AD⊥BC，且D为BC中点
  而，A1O⊥BC
  所以，BC⊥面A1AO
  所以，BC⊥A1A
  而，A1A//B1B//C1C
  所以，BC⊥B1B
  即，四边形BB1C1C为矩形
  所以，侧面积=S四边形AA1B1B+S四边形AA1C1C+S四边形BB1C1C
  =AB*A1E+AC*A1F+BC*BB1
  =a*(√2/2)b+a*(√2/2)b+ab
  =(1+√2)ab
  底面△ABC的面积S△ABC=(1/2)*a*a*(√3/2)=(√3/4)a^2
  因为OE⊥AB，AD⊥BD
  所以，Rt△AEO∽Rt△ADB
  则，AO/AB=AE/AD
  即：AO/a=(√2b/2)/(√3a/2)
  所以，AO=(√6/3)b
  那么，在Rt△A1OA中，由勾股定理得到：A10^2=A1A^2-AO^2=b^2-(2b^2/3)=b^2/3
  所以，A10=(√3/3)b
  所以，三棱柱的体积V=S△ABC*A10=(√3/4)a^2*(√3/3)b=a^2*b/4
  2,(有图)在直角梯形P1DCB中,P1D//CB,CD⊥P1D,且P1D=6,BC=3,DC=√3,A是P1D的中点,沿AB把面P1AB折起到面PAB的位置, 使二面角P-CD-B成45度,设E,F分别是AB,PD的中点 
  (1)求证:AF//面PEC 
  因为P1D//BC，CD⊥P1D
  所以，CD⊥BC
  又，BC=AD=3
  所以，四边形ABCD为矩形
  则，BA⊥PA，BA⊥AD
  所以，BA⊥面PAD
  而，CD//BA
  所以，CD⊥面PAD
  所以，PD⊥CD
  而，AD⊥CD
  所以，∠PDA即为二面角P-CD-B的平面角
  所以，∠PDA=45°
  又，PA=DA=3
  所以，△PAD为直角三角形
  即，PA⊥AD
  又，PA⊥BA
  所以，PA⊥面ABCD
  取PC中点G，连接EG、FG
  因为F、G分别为PD、PC中点
  所以，FG//==CD/2
  而，E为AB中点
  所以，AE//==CD/2
  所以，AE//==FG
  所以，四边形AEGF为平行四边形
  所以，AF//EG
  而，EG包含于面PEC
  所以，AF//面PEC
  (2)求二面角P-BC-A 答案:60度 
  由(1)的过程知，PA⊥面ABCD
  所以，PA⊥BC
  而，底面ABCD为矩形
  所以，AB⊥BC
  所以，BC⊥面PAB
  所以，PB⊥BC
  则，∠PBA即为二面角P-BC-A的平面角
  所以，在Rt△PAB中
  tan∠PBA=PA/AB=3/√3=√3
  所以，∠PBA=60°
  (3)求三棱锥F-PEC的体积 答案:3√3/4 
  。
    

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  T***

  2009-09-07 14:16:50

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