过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作互相垂直的两条弦? 爱问知识人

过抛物线y^2=2px(p0)的焦点F作互相垂直的两条弦

过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作互相垂直的两条弦，求以两条弦为对角线的四边形的面积的最小值过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作互相垂直的两条弦，求以两条弦为对角线的四边形的面积的最小值

h***

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  F(p/2,0),s设过F直线AC的t参数方程为p/2+tcos θ;y=sinθ(θ是直线AC的倾斜角),把它代入y²=2px得,t²sin²θ-2ptcosθ-p²=0,则
t1+t2=2pcosθ/sin²θ, t1t2=-p²/sin²θ。
  
|AC|²=|t1-t2|²=(t1+t2)-4t1t2=4p²/(sin²θ)², ∴ |AC|=2p/sin²θ, ∵ BD⊥AC。 ∴ 直线BD的倾斜角=π/2+θ, ∴ |BD|=2p/sin²(π/2+θ)=2p/cos²θ,ABCD的面积S=0。
  5×即AC|×|BD|=8p²/sin2θ,
∵  0
		                全部

曼***

2009-08-31 00:24:37

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设弦AB倾角为t,则|AB|=|FA|+|FB|=p/(1-cost)+p/[1-cos(兀+t)]=2p/(sint)^2;同理,与AB垂直的另一弦|CD|=2p/[sin(t+兀/2)]^2=2p/(cost)^2.故四边形ABCD面积S=1/2*|AB|*|CD|=2p^2/(sintcost)^2=8p^2/(sin2t)^2,即t=兀/4时,S|min=8p^2。

柳***

2009-08-31 08:35:56

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焦点F（p/2，0）
建立极坐标系，以F为极点
则抛物线y^2=2px的极坐标方程为y=p/（1-cosa）
所以四边形的面积为
     S=0.5*[p/（1-cosa）+p/（1+cosa）]*[p/（1-sina）+ｐ/（1+sina)］
      ＝２ｐ^２/(sina^2*cosa^2)=8ｐ^２/(sin2a^2)<=8p^2
     当a=45度时取到等号

冰***

2009-08-31 00:16:20

55 12 评论

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好复杂，都还给老师了。
这是高中的问题还是大学的？

五***

2009-08-31 00:05:31

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