求f(x,y,z)取值范围
在正实数域内,x+y+z=1,求函数f(x,y,z)=根(13x+1)+根(13y+1)+根(13z+1),的取值范围。书后答案是(2+根14, 4根3]。f(x,y,z)=<4根3易求,用均值不等式、Cauchy不等式、Jensen不等式都可求出,但f(x,y,z)>2+根14,到底如何得到,思维实在找不到切入点.望能得到各位高手帮忙,谢谢!
问题就是:己知x,y,z≥0,x+y+z=1。求证f(x,y,z)>2+√14 或求f(x,y,z)的最小值。 注意:求f(x,y,z)的最小值的条件,x,y,z为非负实数,不是正实数。 求f(x,y,z)的取值范围可在正实数域内。 介绍两种方法: (1)柯西不等式,此法适用于求取值范围。
[f(x,y,z)]^2=∑(13x+1)+2∑√[(13y+1)*(13z+1)] =16+2∑√[(14y+z+x)*(y+14z+x)] ≥16+2∑[y√14+z√14+x] =16+2+4√14=18+4√14=(2+√14)^2 ∴f(x,y,z)≥2+√14 当两个数为0,第三数为1时取等号。
(2)作差比较法,此法适用于求最小值。 设x=max(x,y,z), T=√(13x+1)+√(13y+1)+√(13z+1)-2-√14 =√(14x+y+z)+√(14y+z+x)+√(14z+x+y)-(2+√14)√(x+y+z) =√(14x+y+z)-√[14(x+y+z)]+√(14y+z+x)-√(x+y+z)+√(14z+x+y)-√(x+y+z) =-13(y+z)/{√(14x+y+z)+√[14(x+y+z)]}+13y/[√(14y+z+x)+√(x+y+z)] +13z/[√(14z+x+y)+√(x+y+z)] 因为 √(14x+y+z)+√[14(x+y+z)]>√(14y+z+x)+√(x+y+z); √(14x+y+z)+√[14(x+y+z)]>√(14z+x+y)+√(x+y+z); 所以T≥0。
故f(x,y,z)≥2+√14。 当x=1,y=z=0时,有最小值2+√14。
答：解: 构造向量a=(x,y),b=(1,1),则 |a|^2*|b|^2>=|a*b|^2 --->2(x^2+y^2)>=(x+y)^2 而x+y=5-z, ...详情>>
答：详情>>
答：对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评详情>>
答：数学：甲数、乙数与丙数的和是1400，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的二分之一，求甲、乙、丙各多少？详情>>
答：对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评详情>>
