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2009-02-28 13:22:43

• 利用拉贝(Laabe)判别法证明该级数发散.
  对于正项级数,(n=1→＋∞) ∑Un,
  若(n→＋∞)lim n[Un/U(n+1) - 1] = r
  则①r＞1时,∑Un收敛;②r＜1时,∑Un发散;③r＝1时此判别法失效.
  Un/U(n+1)= (1/e)[(n+1)/n]^n
  (n→＋∞)lim n[Un/U(n+1) - 1]
  =(n→＋∞)lim [(1/e)[(n+1)/n]^n - 1]/(1/n)
  =(x→0)lim [(1/e)[(1+x)^(1/x) - 1]/x
  =(x→0)lim [(1/e)[e^((1/x)*ln(1+x)) - 1]/x
  =(x→0)lim [(1/e)[e^(1 -(1/2)x + o(x)) - 1]/x 
  =- 1/2
  ＜1
  所以,,∑Un发散.
  

  全部
  

  c***

  2009-02-28 13:22:43

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