问题 试证:到三角形三顶点的距离平方和为最小的点即是重心。 命题 在ΔABC中，G是重心,P是平面上任一点,BC=a,CA=b,AB=c，ma,mb,mc分别表示ΔABC的中线。求证; PA^2+PB^2+PC^2≥GA^2+GB^2+GC^2 当P与G重合时取等。
证明 根据三角形惯性极矩不等式:[x,y,z为实数] (x+y+z)*(x*PA^2+y*PB^2+z*PC^2)≥a^2*yz+b^2*zx+c^2*xy (1) 取x=y=z=1时，即得: PA^2+PB^2+PC^2≥(a^2+b^2+c^2)/3 (2) (2)式取等条件是x=y=z，即重心坐标为(1,1,1)。
而 GA=2ma/3,GB=2mb/3,GC=2mc/3。 GA^2+GB^2+GC^2=4*[(ma)^2+(mb)^2+(mc)^2]/9=(a^2+b^2+c^2)/3 所以有 PA^2+PB^2+PC^2≥GA^2+GB^2+GC^2 。
问题 试证:到三角形三顶点的距离平方和为最小的点即是重心。 上述重心性质可改述为: 命题 在ΔABC中，G是重心,M是平面上任一点。求证; MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 证明 ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。
对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得; MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG 因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得: 3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1) 容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有 MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4 GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4 将上述两式代入(1) 式得: 3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3 = MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2) 所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 从等式显然可看出, 当M异于G时，有 MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2 所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心 。
设P（x，y）到△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的距离的平方和
S=|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
=[(x-x1)^2+(y-y1)^2]+[(x-x2)^2+(y-y2)^2]+[(x-x3)^2+(y-y3)^2]
=[3x^2-2(x1+x2+x3)x+(x1^2+x2^2+x3^3)]
+[3y^2-2(y1+y2+y3)y+(y1^2+y2^2+y3^2)]
=3[x^2-2(x1+x2+x3)x/3+(x1+x2+x3)^2/9]-(x1+x2+x3)^2/3+(x1^2+x2^2+x3^2)
+{3[y^2-2(y1+y2+y3)/3+(y1+y2+y3)^2/9]-(y1+y2+y3)^2/3+(y1^2+y2^2+y3^2)
=3[x-(x1+x2+x3)/3]^2+2(x1^2+x2^2+x3^2-x1x2-x2x3-x3x1)/3
+3[y-(y1+y2+y3)]^2+2(y1^2+y2^2+y3^2-y1y2-y2y3-y3y1)/3
所以x=(x1+x2+x3)/2,y=(y1+y2+y3)/2时S有最小值(2/3)(x1^2+x2^2+x3^2-…………+y1y2+y2y3+y3y1)。
而x=(x1+x2+x2)/2,y=(y1+y2+y3)/3正是△ABC的重心坐标。
所以到三角形的顶点的距离的平方和最小的点是三角形的重心。证完。
答：试证:到三角形三顶点的距离平方和为最小的点即是重心。 上述重心性质可改述为: 命题 在ΔABC中，G是重心,M是平面上任一点。求证; MA^2+MB^2+MC^...详情>>
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