1.
循环群的商群是循环群.
这是显然的.
循环群G={e,x,..,x^(n-1)},
f为G到G/H的相对应的同态映射,
则循环群的商群=G/H={1,f(x),..,[f(x)]^(n-1)},
所以循环群的商群是循环群.
2.
(1)|G/H|*|H|=|G|
==>
|G/H|=5,
任取一个G/H中非单位元素x,
则|x|整除|G/H|=5,所以
|x|=5,
==>
{e,x,x^2,x^3,x^4}是和G/H同阶的子群,所以
{e,x,x^2,x^3,x^4}=G/H,
==>G/H是循环群,所以是交换群.
(2)由于|G/H|=5,
f为G到G/H的相对应的同态映射,
对于任意x∈G,则
[f(x)]^5=f(e)=f(x^5),
[x^5]e^(-1)=x^5∈H .
答：设商群G/H=是由aH生成的循环群, H包含在G的中心里. 对任意x,y∈G, 它们在商群中的像xH,yH都是aH的方幂, 设 xH=(aH)^i=a^iH, ...详情>>
答：详情>>
