如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD，F为DC1的中点，(1)证明：BD⊥AA1；(2)证明：OF∥平面BCC1B1；(3)求二面角D-AA1-C的余弦值．
试题难度：难度：中档 试题类型：解答题 试题内容：如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，AC∩BD=O，侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD，F为DC1的中点，
(1)证明：BD⊥AA1；
(2)证明：OF∥平面BCC1B1；
(3)求二面角D-AA1-C的余弦值．
试题答案：解：(1)∵棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2，
∴四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
又A1O⊥平面ABCD，BD平面ABCD，
∴A1O⊥BD，
又∵AC∩A1O=O，AC、A1O平面A1ACC1，
∴BD⊥平面A1ACC1，
∵AA1平面A1ACC1，
∴BD⊥AA1． (2)连接BC1，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，
∴O是BD的中点，
又∵点F为DC1的中点，
∴在△DBC1中，OF∥BC1，
∵OF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，
∴OF∥平面BCC1B1。
(3)以O为坐标系的原点，分别以OA，OB，OA1所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
∵侧棱AA1与底面ABCD所成的角为60°，A1O⊥平面ABCD，
∴∠A1AO=60°，在Rt△A1AO中，可得AO=1，，
在Rt△AOB中，，
∴A(1，0，0)，，
设平面AA1D的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），
∴，
∵，
∴，令z1=1，则，
又∵BD⊥平面A1ACC1，
所以，平面A1ACC1的一个法向量为，
∴，
∵二面角D-AA1-C的平面角为锐角，
故二面角D-AA1-C的余弦值是。
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答：补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...详情>>
