五猴分桃的解答

    五只猴子采得一堆桃，它们约定次日早起来分。半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃均分成五堆后，发现还多一个，它吃了这桃子，拿走了其中一堆。第二只猴子醒来，又把桃子均分成五堆后，还是多了一个，它也吃了这个桃子，拿走了其中一堆。第三只，第四只，第五只猴子都依次如此做了。问桃子数最少有多少个？”

     下面是本人给出的两面个答案，请各位指点，看是还有更好的解法！
     五猴分桃答案一：
    
依题意有，设第五个猴子去分桃时有桃数为5a+1个；
    而5a+1是第四个猴子分后剩余的，必为4的倍数，故
    有第四个猴子来时有桃为(5a+1)*5/4+1=[5(4b+3)+1]*5/4+1=25b+21;      
                   同理，
    第三个别猴子来时有桃为（25b+21）* 5/4+1=[25(4c+3)+21]*5/4+1=125c+121；
     第二个猴子来时有桃为（125c+121）*５／４＋１＝［１２５（４d+3）+121]*5/4+1=625d+621;
     这是第一个猴子分剩余的桃子，故可知原有桃子数为(６２５d＋６２１)*5/4+1=[625(4e+3)+621]*5/4+1=3125e+３１２１;
     所以当e＝０时有最小值，３１２５＊０＋３１２１＝３１２１个桃子。(其中e=0,1,2,3,4,5, 等自然数。）

    五猴分桃答案二：

    设原有桃数为A，第一个猴子把其分为5B+1，同理有：A=5B＋1
　　4B=5C＋1
　　4C=5D＋1
　　4D=5E＋1
　　4E=5F＋1
亦即
A+4=5（B＋1）
　　4（B+1）=5（C＋1）
　　4（C+1）=5（D＋1）
　　4（D+1）=5（E＋1）
　　4（E+1）=5（F＋1）
以上等式左右两边各相乘，得
4^4(A+4)=5^5(F+1
)
5^5F=4^4(A+4)-5^5
可知只有A=5^5X-4（X为不为0的正整数）时，等式才有可能被整除。
故A=5^5X-4,当X=1时有最小值即最小应有桃子数为A=5^5*1-4=3125-4=3121(个) 

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刘***

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