(2014?吉州区一模)如图,已知抛物线y=x2 bx c与x轴交于点A(-1,0)、C,与y轴交于点B(0,3),抛物线
(2014?吉州区一模)如图,已知抛物线y=x2 bx c与x轴交于点A(-1,0)、C,与y轴交于点B(0,3),抛物线的顶点为P.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线向下平移k个单位后经过点(-5,6).
①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值;
②设平移后抛物线与y轴交于点D,顶点为Q,点M是平移后的抛物线上的一个动点,请探究:当点M在何处时,△MBD的面积是△MPQ面积的2倍?求出此时点M的坐标.
(1)∵点A(-1,0)、点B(0,3),在抛物线上,
∴0=1?b c3=c,
解得:b=4c=3,
∴所求的抛物线解析式为y=x2 4x 3;
(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2 4x 3 k.
∵它经过点(-5,6),
∴6=(-5)2 4(-5) 3 k.
∴k=-2.
∴平移后抛物线的解析式为y=x2 4x 3-2=x2 4x 1.
配方,得y=(x 2)2-3.
∵a=1>0,
∴平移后的抛物线的最小值是-3.
(3)由(2)可知,BD=PQ=2,对称轴为x=-2.
又∵S△MBD=2S△MPQ,
∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍.
设M点坐标为(m,n).
①当M点的对称轴的左侧时,则有0-m=2(-2-m).
∴m=-4.
∴n=(-4)2 4(-4) 1=1.
∴M(-4,1).
②当M点在对称轴与y轴之间时,则有0-m=2[m-(-2)].
∴m=-43.
∴n=(-43)2 (-443) 1=-239.
∴M(-43,-239).
③当M点在y轴的右侧时,则有m=2[(m-(-2)].
∴m=-4<0,不合题意,应舍去.
综合上述,得所求的M点的坐标是(-4,1)或(-43,-239).。
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