“海伦公式”是几何定理，它的证明关键是“勾股定理”。 现在不少奥数老师用余弦定理证明勾股定理，争论颇多，我认为是循环论证， 奥数老师认为勾股定理与余弦定理等价。 从“数学发展史”及“人类认识论规律”看“三角”应该在“几何”的后面。 要搞清楚这一点，否则就会对于“循环论证”的错误没有一个认定的标准。 我的证明如下，可以看出，这个证明与楼上两位的证明有本质的区别。 我不同意奥数老师认为这两种证明完全等价的观点。仅供参考 ☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆○☆
简证：
依余弦定理得
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，
显然，00，
∴sinA=√[1-(cosA)^2]
=√[1-((b^2+c^2-a^2)/2bc)^2]
={√[(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)]}/(2bc)
→(1/2)bcsinA={√[(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)]}/4.
设△ABC面积为S，半同长p=(a+b+c)/2，
代入上式整理得，
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]——这就是海伦公式。
4S=2absinC =2ab√[1-(cosC)^2] =√[(2ab)^2-(2abcosC)^2] =√[(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =√(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2) =√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(c+b-a) ∴S=[√(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(c+b-a)]/4 即为海伦公式
答：用余弦定理先算出cosC，再得到sinC，代入S=1/2absinC，然后因式分解，结果中的a+b+c用2p代，整理即可。详情>>
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