海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则
S△ABC = aha= ab×sinC = r p
= 2R2sinAsinBsinC =
=
其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形
S=
= ①
= ②
= ③
= ④
= ⑤
二、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x = y =
ha = = =
∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t。则
t 2 =
证明：由证一可知，u = v =
∴ ha 2 = t 2 = －
∴ S△ABC = aha = a ×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么
tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1
证明：如图，tg = ①
tg = ②
tg = ③
根据恒等式，得：
+ + =
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④
如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x
∴x = 同理：y = z =
代入 ④，得： r 2 · =
两边同乘以 ，得：
r 2 · =
两边开方，得： r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg =
tg =
tg =
证明：根据tg = = ∴r = × y ①
同理r = × z ② r = × x ③
①×②×③,得： r3 = ×xyz
∵由证一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
三、 海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD
∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①，②跟b = 代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
所以，海伦公式的推广得证。
四、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2。
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC = x
由海伦公式的推广，得：
=
(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0
(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0
x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0
当x = 1时，AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形。
。
三角形的三条边的边长a、b、c，面积为S 使：l=（a+b+c）/2 则, 海伦公式: S = 根号下[l(l-a)(l-b)(l-c)] 知道三角形三边长, 可以求出三角形的面积. 该公式现在已经不用了
三角形的三条边的边长a、b、c，面积为S 使：s=（a+b+c）/2 则, 海伦公式: S = genhao[s(s-a)(s-b)(s-c)] 它在只知道三角形边长情况下, 可以求出三角形的面积.
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