为什么连续n个正整数相乘，积能被n!整除？爱问知识人

为什么连续n个正整数相乘，积能被n!整除？

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可以借助组合数公式说明。
从m个不同元素中取n个元素组合，记C(m,n)中不同方法，
其中m≥n，且都为正整数。C(m,n)为正整数。
C(m,n)=P(m,n)/n!
其中P(m,n)表示从m个不同元素中取n个元素进行排列的不同种数，
展开就是n个连续正数的积，
即n个正整数相乘，积能被n!整除。

B***

2018-02-11 15:18:58

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设连续的n个正整数想乘为(m+1)(m+2)...(m+n).
 
情形1：若m=n 
    只需要证明对{1,...n}中任意一个数i, (m+1)(m+2)...(m+n)含有i即可。因为               
          （m+1）...(m+n)=m^n+a_1 m^(n-1)+....+a_(n-1)m+n!
注意到m>=n,等式右边每一项都可以整除i,从而(m+1)(m+2)...(m+n)可以整除i。由i的任意性，(m+1)(m+2)...(m+n)可以整除n!.

欧***

2018-02-11 16:18:58

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