设正四棱锥的外接球, 内切球半径分别为R,r, 求证:R≥(√2+1)r 证明 设正四棱锥的底正方形边长为2a,棱锥高为h。 正四棱锥的外接球半径就是底边为2√2a，高为h的等腰三角形的外接圆半径。 由此可求得: R=(2a^2+h^2)/(2h)。
正四棱锥的内切球半径就是底边为2a，高为h的等腰三角形的内切圆半径。 由此可求得: r=ah/[√(h^2+a^2)+a]=a[√(h^2+a^2)-a]/h。 故 R/r=(2a^2+h^2)/[2a√(h^2+a^2)-2a^2]。
令b^2=a^2+h^2,所以 R/r=(a^2+b^2)/[2a(b-a)]。 令t=b/a, 显然t>1。 则 T=R/r=(t^2+1)/(2t-2)。 下面来求 T=(t^2+1)/(2t-2)的最小值Tmin。 t^2-2Tt+2T+1=0, 因为t为实数,故判别式 Δ=4[T^2-2T-1]≥0, T^2-2T-1≥0 解此不等式得:T≥1+√2。
因此得R/r≥(√2+1)。证毕。 。
答：解：借用曼丽的图，其实只要把PAM这个三角形吃透，这类题就没问题了。设O为内切球球心，O`为外接球球心，注意O与O`不一定重合。 (1)MO1=√3a/6，AO...详情>>
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