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求x y的最大值

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求x+y的最大值

已知3x^2+2y^2=1,
求x+y的最大值,
并解释其几何意义

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全部答案

    2010-12-20 13:33:47
  • 请点一下内容,以便看得清楚些。 

    勇***

    2010-12-20 13:33:47

  • 2010-12-19 17:42:42
  • 1,2,4,5楼的解答都对。其中5楼利用的方法
    x+5=(cosθ/√3)+(sinθ/√2)=(√30/6)sin[θ+arctan√(2/3)]
    最为简洁精彩. 
    关于几何意义,我作一点补充,
    如果是高数问题,解答就是“这是二元函数f(x,y)=x+y的等值线族x+y=C中与椭圆相切的一条(两条中另一条C最小)。”
    如果是中学数学问题,解答就是“斜率为-1的直线x+y=C中与椭圆相切的一条(两条中另一条C最小)。”

    山***

    2010-12-19 17:42:42

  • 2010-12-19 15:10:36
  • 解:
    可用数形结合法.
    将条件式化为椭圆参数方程:
    x=cosθ/(根3),y=sinθ/(根2).
    然后代入求x+y最大最小值即可
    当然,也可以用纯代数方法:
    设x+y=t,代入条件式整理得
    5x^2-4tx+(2t^2-1)=0
    上式判别式不小于0,即
    △=(-4t)^2-4×5×(2t^2-1)≥0
    →4t^2-5(2t^2-1)≥0
    →t^2-(5/6)≤0
    →-根(5/6)≤t≤根(5/6)
    故所求最小值为:(x+y)|min=-根(5/6),
    最大值为为:(x+y)|max=根(5/6).

    柳***

    2010-12-19 15:10:36

  • 2010-12-19 14:59:15
  • 3x^2+2y^2=1
    是一个椭圆的方程
    x^2/(1/3)+y^2/(1/2)=1
    求x+y的最大值
    就是y=-x+z直线与椭圆的正好相切时,直线与y轴的交点值。
    就是切线的斜率是-1
    椭圆方程切斜率是两边求导:
    6x+4yy'=0
    k=y'=-3x/2y=-1
    所以3x=2y =》 y=3x/2
    代会方程:
    得x=√(2/15)和y=√(3/10)
    或者得x=-√(2/15)和y=-√(3/10)
    所以y=-x+k
    最大
    k=x+y=√(2/15)+√(3/10)=√5/√6

    手***

    2010-12-19 14:59:15

  • 2010-12-19 14:50:04
  • 用一条斜率为-1的直线慢慢向右上角平移,使直线与椭圆交点处横纵坐标之和最大。其中,直线方程为:y=t-x,t为直线与y轴的截距,t最大时,就是答案。椭圆方程为:x^2/(1/3)+y^2/(1/2)=1,以原点为中心的椭圆,长轴为1/3的开方,短轴为1/2的开方。
    将椭圆方程转化为参数方程:①.x=1/(1/根号3)*cos(theta) ②.y=1/(1/根号2)*sin(theta),其中theta为角度,[0,2*pi].当直线平移到第一象限并与椭圆相切时,x+y取最大值。此时,椭圆切线斜率等于-1,对应的theta=arctan(根号6/2),最终的答案是:f_max=x+y=1/(根号3)*cos(theta)+1/(根号2)*sin(theta)

    -***

    2010-12-19 14:50:04

  • 2010-12-19 14:34:10
  • 解:设y=(√2cost)/2
    2y²=2×[(√2cost)/2]²=cos²t
    3x²=1-2y=1-cos²t=sin²t
    则:x=(√3sint)/3
    x+y=(√2cost)/2+(√3sint)/3=√30/6sin(t+α)
    所以:x+y的最大值是√30/6。
    

    l***

    2010-12-19 14:34:10

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