数学函数问题
设函数f(x)=ax+1/(x+b)(a,b属于Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程y=3; 证明曲线y=f(x)上任意一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的面积为定值..
f(x)=ax+1/(x+b)(a,b属于Z), ∴f'(x)=a-1/(x+b)^2, 曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程y=3, ∴f(2)=2a+1/(2+b)=3, f'(2)=a-1/(2+b)^2=0, 解得a=1,b=-1. ∴f(x)=x+1/(x-1),f'(x)=1-1/(x-1)^2, 过曲线y=f(x)上任意一点(m,m+1/(m-1))的切线方程为 y-[m+1/(m-1)]=[1-1/(m-1)^2](x-m), 它交直线x=1于A(1,1+2/(m-1)), 交直线y=x于B(2m-1,2m-1), 直线x=1与y=x交于C(1,1). ∴S△ABC=1/2*|AC|*|xB-xA| =1/2*|2/(m-1)|*|2m-2|=2,为定值。
答：详情>>
