引理 在四边形ABCD中，M、N分别是对角线ＡＣ、ＢＤ的中点，又ＡＤ、ＢＣ的延长线相交于点Ｐ。则三角形ＰＭＮ的面积是四边形ABCD的面积的四分之一 引理证明 设E,F分别边AB,CD的中点，连ME,MF,NE,NF。 则ME∥BC,MF∥AD,NE∥AD,NF∥BC，所以四边形EMFN为平行四边形。
由于NF∥BC，所以得: S(PFN)=S(BNF)=S(BDF)/2=S(BDC)/4。 (1) 同理可得:S(PFM)=S(ACD)/4。 (2) 由于有 S(PMN)=S(PFN)+S(PFM)+S(FMN)=[S(BDC)+S(ACD)]/4+S(EMFN)/2。
(3) 所以只需证明: S(EMFN)=[S(ABD)-S(ACD)]/2。 (4) 延长EM，NF分别交AP于G,H。平行四边形ENHG的底EN=AD/2，EN上高[即EN与AB的距离]等于三角形ABD的边AB上的高的一半，所以 S(ENHG)=S(ABD)/2。
同理可得:S(FMGH)=S(ACD)/2。 故 S(EMFN)=S(ENHG)-S(FMGH)=[S(ABD)-S(ACD)]/2。 所以(4)式成立，将(4)式代入(3)式即得所得结论。 设BA,CD交于Q,则由引理得: 4S(QMN)=S(ABCD)。
4S(PMN)=S(ABCD)。 设MN交PQ于L,由于 S(PMN)=S(QMN) 所以P,Q到MN的距离相等, 从而L是对角线PQ的中点。 直线MN称为完全四边形的牛顿线。 。
答：完全四边形的三条对角线的中点共线。 证明 设完全四边形ABCD的两组对边AB,CD;BC,DA分别交于E与F，AC,BD,EF的中点分别为M,N,K，即证M,N...详情>>
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