以△ABC的AB，AC为边向外作正△ABD，正△ACE，连BE，CD，交于点P， 求证：PB+PC+2PA=PD+PE 证明 分别作正△ABD，正△ACE的外接圆，显然两圆交于A与P点。 在圆内接四边形ADBP中,据托勒密定理得: AD*PB+BD*PA=AB*PD 因为AB=BD=AD，所以 PD=PA+PB, (1) 同理可得: PE=PA+PC (2) (1)+(2)即得: PB+PC+2PA=PD+PE.
证明： 延长PB至F，使BF=PA；延长AC至G，使CG=PA。则PF+PG=PB+PC+2PA。 ∵∠DAB=∠EAC，则∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE。又AD=AB；AC=AE。∴△DAC≌△BAE，则∠ADC=∠ABE;∠DPB=∠DAB=60° 易知D、B、P、A四点共圆，则∠APD=∠ABD=60度。
∴∠DAP=180°-∠ADP-60°；∠DBF=180°-∠ABP-60°。 则∠DAP=∠DBF。又FD=BA；BF=PA，故△DBF≌△DAP（SAS） ∴DF=DP。故△DPF为等边三角形，则PF=PD；同理可证：PG=PE。
∴PF+PG=PD+PE 即(PB+BF)+(PC+CG)=PD+PE PB+PC+2PA=PD+PE。 [注：证∠APD=∠ABD时，如果不想用四点共圆，则可利用相似。 设PD与BA交于点O，因∠ADC=∠ABE；∠DOA=∠BOP，则△DOA∽ △BOP，则DO:OB=AO:OP,又∠DOB=∠AOP,故△DOB∽△AOP,即可证得∠APD=∠ABD。
]。
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