以后一题一问。 1 证明：若矩阵A^2=I,A不等于I,则A+I不可逆。 反证法： 设A+I可逆，由于（A+I）（A-I）=0 ==》 (A+I)^(-1)(A+I)(A-I）=0=A-I ==>A=I矛盾，所以A+I不可逆。 2 设A是n阶非零对称矩阵，证明存在n元列向量a，使得a的转置乘A乘a不等于0。
反证法： 设任意n元列向量a有：(a^T)Aa=0。 设单位矩阵I=（e1,e2,。。,en),则任意ei，ej有： 0=(ei+ej)^TA(ei+ej)= =(ei)^TAei+(ej)^TAej+(ei)^TAej+(ej)^TAei= =(ei)^TAej+(ej)^TAei 由于(ej)^TAei是个数，所以 (ej)^TAei=[(ej)^TAei]^T=(ei)^TA^Tej= =(ei)^TAej ==> (ei)^TAej=0 ==>ei有 (ei)^TA= =(ei)^TAI= =((ei)^TAe1,(ei)^TAe2,。
。,(ei)^TAen)=0 ==> 0=[(ei)^TA]^T=Aei ==> A= =AI= =(Ae1,Ae2,。。,Aen)=0。 矛盾，所以存在n元列向量a，使得(a^T)Aa≠0。 。
1 证明：若矩阵A^2=I,A不等于I,则A+I不可逆。 证明：首先因为A与A可乘(条件中由A^2),所以A是方阵(不妨设为n阶)。 因为A^2=I，所以(A+I)(A-I)=O, 因为A≠I，所以A-I≠O,将矩阵A-I的列向量记为x1,x2,…,xn,则可知方程Ax=O由非零解，由克莱姆法则知系数行列式为零，即 |A+I|=0,因此，A+I不可逆。
2 设A是n阶非零对称矩阵，证明：存在n维列向量a，使得a的转置乘A乘a不等于0。 证明：(反证法）假设对于任意n维列向量a，恒有 (a^T)Aa=O, 特别地，对于n个n维列向量ε1,ε2,…,εn，有 (εi^T)Aεi=O, (i=1,2,…,n) 则有 ((ε1,ε2,…,εn)^T)A(ε1,ε2,…,εn)=O, 即 (I^T)AI=O, 于是 A=O, 这与条件A是非零矩阵矛盾。
因此，存在n维列向量a，使得 (a^T)Aa≠O。 。
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