已知递推公式An=(n
已知递推公式An=(n-1)[A(n-1) A(n-2)],求An的通向公式。已知递推公式An=(n-1)[A(n-1)+A(n-2)],求An的通向公式。且又知：A1=0，A2=1，A3=2。
答案： An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3！+。。。+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法。这个没什么可说。
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n, 令 An=n!bn, 代入，得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n, b1=0, b2=1/2。
所以，bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=。。。=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*。。。*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3！+。
。。+(-1)^n*1/n!， An=n!bn等于上式。
思路三：这个公式是错置排列的公式。所谓错置排列，有一个通俗的说法。n 个人， 每人有一顶自己的帽子。 An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目。显然 A1=0 （一个人不可能戴错)， A2=1。
对n>2的情况，第 n 个人的帽子必然戴到 某个第 i 人头上，i=1，2，。。。, n-1, 这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上，则其余 n-2 个人要互相戴错，共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上，此时共有 A(n-1)种戴法。
总之，我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)), n>2。 而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上，所以必然有An等于上面的数。
。
答：An=3A(n-1)+2^(n-1),两边除以2^n,得An/2^n=(3/2)·[A(n-1/2^(n-1)]+(1/2).设Bn=An/2^n,则Bn+1=...详情>>
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