已知x1,x2,x3是正数,且 x1+x2+x3=1,求证
1/(1+x1^2)+1/1+x2^2)+1/(1+x3^2) (54-27x)*(1+x^2)≥50,
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50。 (1)
在(1)式中分别代入x,y,z得:
1/(1+x^2)≤(54-27x)/50;
1/(1+y^2)≤(54-27y)/50;
1/(1+z^2)≤(54-27x)/50。
上述三式相加得:
1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+1/(1+z^2)≤-(27/50)*(x+y+z)+162/50=27/10
证毕。
证法二:
对所证不等式进行齐次化处理。根据己知条件:x1+x2+x3=1，
令x1=x/(x+y+z),x2=y/(x+y+z),x3=z/(x+y+z),
其中x,y,z均为正数，则所证不等式等价于:
(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+x^2]+(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+y^2]+(x+y+z)^2/[(x+y+z)^2+z^2]≤27/10
T=x^2/[(x+y+z)^2+x^2]+y^2/[(x+y+z)^2+y^2]+z^2/[(x+y+z)^2+z^2]≥3/10，
根据柯西不等式:
{x^2*[x^2+(x+y+z)^2]+y^2*[y^2+(x+y+z)^2]+z^2*[z^2+(x+y+z)^2]}*T≥(x^2+y^2+z^2)^2，
因此只需证
10*(x^2+y^2+z^2)^2≥3*{x^2*[x^2+(x+y+z)^2]
+y^2*[y^2+(x+y+z)^2]+z^2*[z^2+(x+y+z)^2]}
上式展开整理等价于:
4(x^4+y^4+z^4)-6x^3*(y+z)-6y^3*(z+x)-6z^3*(x+y)
+14(y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2)-6xyz(x+y+z)≥0
上式分解整理等价于:
(2y^2+2z^2-2yz+3x^2)*(y-z)^2+(2z^2+2x^2-2zx+3y^2)*(z-x)^2
+(2x^2+2y^2-2xy+3z^2)*(x-y)^2≥0。
上式各项均为非负。命题得证。
。
全部
