已知a^2=b^2+c^2 求(a^3+b^3+c^3)/(a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)) 的最小值。。 解 (a^3+b^3+c^3)/[a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)]的最小值：(√2+1)/(√2+3） (a^3+b^3+c^3)/(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b))>=(√2+1)/(√2+3） (√2+3)*(a^3+b^3+c^3)>=(√2+1)*[a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)] 2a(b^2+c^2)+2(b^3+c^3)-2(1+√2)bc(b+c)>=0 2(b+c)*(b-c)^2+2[a(b^2+c^2)-bc(b+c)]>=0 由所给条件:a(b^2+c^2)-bc(b+c)>=0。
所以(a^3+b^3+c^3)/(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b))>=(√2+1)/(√2+3） 。
令b=asinx,c=acosx （由所给条件） 原式=(1+sin^3x+cos^3x)/(2+2sinx+2cosx) 再令t=sinx+cosx，则sinxcosx=(t^2-1)/2，t介于正负根号2之间且不等于-1 上式=(2+3t-t^3)/(4+4t)=(1+t)(2+t-t^2)/(4+4t) =(-t^2+t+2)/4 =(-(t-1/2)^2+9/4)/4 根据t的范围，可知所求最小值为“4分之根号2” 实际上最大值也随之求出为9/16
a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b) =(b^2+c^2)*(b+c)+(a^2+c^2)*(a+c)+(a^2+b^2)*(a+b) =(b^3+c^3+cb^2+bc^2)+(a^3+c^3+ca^2+ac^2)+(a^3+b^3+ab^2+ba^2) =2*(a^3+b^3+c^3+cb^2+bc^2+ca^2+ac^2+ab^2+ba^2) =2*[(a^3+b^3+c^3)+c(b^2+a^2)+b(c^2+a^2)+a(b^2+c^2)] =2*[(a^3+b^3+c^3)+c^3+b^3+a^3] =4*(a^3+b^3+c^3) (a^3+b^3+c^3)/(a^2*(b+c)+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)) =1/4
答：很高兴能帮到你..Emp. Great mind think alike.英雄所见略同~详情>>
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