设f(x)是定义在R是的函数,证明f(x)等于一个奇函数与偶函数? 爱问知识人

设f(x)是定义在R是的函数,证明f(x)等于一个奇函数与偶函数的和

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l***

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如果f(x)是非奇非偶函数，则
设g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，并且f(x)=g(x)+h(x)……（1）
用-x代换x，得到
f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)……（2）
(1)+(2):2g(x)=f(x)+f(-x)
--->g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
(1)-(2):2h(x)=f(x)-f(-x)
--->h(x)=[g(x)-h(x)]/2 是奇函数
所以f(x)=g(x)+h(x)
........=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(x)]/2
所以f(x)能够表示成偶函数和奇函数的和。
PS：一个偶函数不能表示成偶函数和奇函数的和，而奇函数也不能表示成非零的偶函数和奇函数的和。

y***

2008-04-09 23:29:39

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设奇函数f1(x),偶函数f2(x)
则
f1(-x) = -f1(x)
f2(-x)=f2(x)
由题意设f(x)=f1(x)+f2(x)----(1)
==>f(-x)=f1(-x)+f2(-x)
==>f(-x)=-f1(x)+f2(x) ----(2) 
由(1)式和(2)式 可算得
f1(x) = [f(x)-f(-x)]/2
f2(x) = [f(x)+f(-x)]/2
所以f(x)可以由f1(x）+ f2(x) 表示
即f(x)等于一个奇函数与偶函数的和 。

发***

2008-04-09 23:17:50

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