一个三角形加权不等式 设三角形ABC的外接圆半径为R，令BC=a,CA=b,AB=c，x,y,z为任意实数。 求证 R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 证明 判别式法，待证不等式展开等价于 R^2*x^2+2*R^2*x(y+z)-x(zb^2+yc^2)+R^2*(y+z)^2-yza^2≥0 据一元两次式判别式[x为元] Δ=4*R^2[R^2*(y+z)^2-yza^2]-[2*R^2*(y+z)-(zb^2+yc^2)]^2 =4*R^4*(y+z)^2-4*yz*R^2*a^2-4*R^4*(y+z)^2+4*R^2*(y+z)*(zb^2+yc^2)-(zb^2+yc^2)^2 =c^2*(4R^2-c^2)*y^2+b^2*(4R^2-b^2)*z^2+[4R^2*(b^2+c^2-a^2)-2*b^2*c^2]yz 根据正弦定理,余弦定理有 Δ=16*R^4*(sinC*cosC)^2*y^2+16*R^4*(sinB*cosB)^2*z^2+32*R^4*sinB*sinC*[cosA-sinB*sinC]yz 再由三角恒等式:cosA-sinB*sinC=-cosB*cosC，所以有 Δ=16*R^4*(sinC*cosC)^2*y^2+16*R^4*(sinB*cosB)^2*z^2-32*R^4*sinB*sinC*cosB*cosC*yz =16*R^4*[sinC*cosC*y-sinB*cosB*z]^2 =4*R^4*[sin(2C)*y-sin(2B)*z]^2≥0， 因为Δ≥0，故所证不等式成立。
易验证当:x:y:z=sin(2A):sin(2B):sin(2C)时取等号。 R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 等价于 (x+y+z)^2≥4[yz(sinA)^2+zx(sinB)^2+xy(sinC)^2] 。
设三角形ABC的外接圆半径为R，令BC=a,CA=b,AB=c，x,y,z为任意实数. 求证 R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2 (1) 证明 设x,y,z为任意实数，a,b,c是三角形三边长，Δ为这三角形的面积。则有 (xa^2+yb^2+zc^2)^2≥16(yz+zx+xy)Δ^2 (2) 对(2)式作置换，令x==>x/a^2,y==>y/b^2,z==>z/c^2，等价于 a^2*b^2*c^2*(x+y+z)^2≥16(a^2*yz+b^2*zx+c^2*xy)Δ^2 再由恒等式:a^2*b^2*c^2=16R^2*Δ^2 ，化简即为(1)式。
设三角形ABC的外接圆半径为R，令BC=a,CA=b,AB=c，x,y,z为任意实数. 求证
R^2*(x+y+z)^2≥yza^2+zxb^2+xyc^2
证明 待证不等式展开化简为
(R*x)^2+(R*y)^2+(R*z)^2+(2*R^2-a^2)*yz+(2*R^2-b^2)*zx+(2*R^2-c^2)*xy≥0
上式配方整理得:
[R*x+(2*R^2-c^2)*y/(2R)+(2*R^2-b^2)*z/(2R)]^2
+[c*y*cosC-b*z*cosB]^2≥0，显然成立。
易验证当x:y:z=a*cosA:b*cosB:c*cosC时取等号。
问题看不懂 求证的东西能用中文写吗？
答：下面给出一个推广.首先给出一个引理. 引理 设P是△ABC平面上任一点，R,r分别△ABC的外接圆与内切圆半径.则 (PA+PB+PC)^2≥4r(4R+r) ...详情>>
问：小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时，他行1小时可行多少千米？（为...
答：1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问：甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答：（38+41）x2.5=197.5千米详情>>
