数学题命题求证：2个连续自然数的乘积被25除时不能有余数1 爱问知识人

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  命题   求证：2个连续自然数的乘积被25除时不能有余数1。

c***

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命题 求证：2个连续自然数的乘积被25除时不能有余数1。 
证明 假设存在这样的自然数n，使n(n+1)被25整除时余1。这表示存在这样的自然数k使 n(n+1)=25k+1，n^2+n-(25k+1)=0，二次方程判别式:D=1+4(25k+1)=5(20k+1)，形如20k+1的数被5除时余1，这表示D不是一个完全平方数，因此方程n(n+1)=25k+1不能有整数根，与假设矛盾，故命题为真。

德***

2008-01-23 19:56:54

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n =5p+q, q={0,1,2,3,4}
若2个连续自然数的乘积被25除时能有余数1，则有：
25k+1 =n(n+1) =(5p+q)(5p+q+1) =25p^2+5(2q+1)p+q(q+1)
==> q=2
==> 25k+1 =n(n+1) =25p^2+25p+6
5k =5p(p+1)+1，显然不能成立。
因此，2个连续自然数的乘积被25除时不能有余数1

m***

2008-01-23 19:38:04

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